En apollonsk pakning er en type fraktalbilde som er dannet fra en samling av stadig krympende sirkler inneholdt i en enkelt stor sirkel. Hver sirkel i den apolloniske pakningen er tangent til de tilstøtende sirkler - med andre ord tar sirklene i den apolloniske pakningen kontakt på uendelig små punkter. Oppkalt etter den greske matematikeren Apollonius av Perga, kan denne typen fraktal tegnes (for hånd eller datamaskin) til rimelig grad av kompleksitet, og danne et vakkert, slående bilde. Se trinn 1 nedenfor for å komme i gang.
Trinn
Del 1 av 2: Forstå viktige begreper
For å være helt klar, hvis du bare er interessert i å tegne en apollonsk pakning, er det ikke nødvendig å forske på de matematiske prinsippene bak fraktalen. Men hvis du vil ha en dypere forståelse av Apollonian Gaskets, er det viktig å forstå definisjonene av flere begreper vi vil bruke når vi diskuterer dem.
Trinn 1. Definer viktige termer
Følgende termer brukes i instruksjonene nedenfor:
- Apollonian Gasket: Ett av flere navn på en type fraktal sammensatt av en serie sirkler som er nestet inne i en stor sirkel og som tangerer alle andre i nærheten. Disse kalles også "Soddy Circles" eller "Kissing Circles".
- Radius av en sirkel: Avstanden fra sentrum av en sirkel til kanten. Vanligvis tilordnet variabelen r.
- Krumning av en sirkel: Positiv eller negativ invers av radius, eller ± 1/r. Krumning er positiv når det gjelder den ytre krumningen i sirkelen og negativ for den indre krumningen.
- Tangent: Et begrep som brukes på linjer, fly og former som krysser hverandre på et uendelig lite punkt. I Apollonian Gaskets refererer dette til det faktum at hver sirkel berører hver sirkel i nærheten på bare ett punkt. Vær oppmerksom på at det ikke er noe kryss - tangentformer overlapper ikke.
Trinn 2. Forstå Descartes teorem
Descartes teorem er en formel som er nyttig for å beregne størrelsene på sirklene i en apollonsk pakning. Hvis vi definerer krumningene (1/r) for alle tre sirkler som henholdsvis a, b og c, sier setningen at krumningen til sirkelen (eller sirklene) som tangerer alle tre, som vi vil definere som d, er: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
For vårt formål bruker vi vanligvis bare svaret vi får ved å sette et pluss -tegn foran kvadratroten (med andre ord … + 2 (sqrt (…)). Foreløpig er det nok å vite at subtraksjonen formen for ligningen har sin bruk i andre relaterte oppgaver
Del 2 av 2: Konstruksjon av den apollonske pakningen
Apolloniske pakninger har form av vakre fraktalarrangementer av krympende sirkler. Matematisk har Apollonian Gaskets uendelig kompleksitet, men enten du bruker et datamaskintegningsprogram eller tradisjonelle tegneverktøy, vil du til slutt nå et punkt der det er umulig å tegne sirkler mindre. Vær oppmerksom på at jo mer presist du tegner sirklene dine, jo mer får du plass til pakningen.
Trinn 1. Samle dine digitale eller analoge tegneverktøy
I trinnene nedenfor lager vi vår egen enkle Apollonian pakning. Det er mulig å tegne Apollonian pakninger for hånd eller på datamaskinen. I begge tilfeller vil du være i stand til å tegne perfekt runde sirkler. Dette er ganske viktig. Siden hver sirkel i en apollonsk pakning er perfekt tangent til sirklene ved siden av, kan sirkler som til og med er litt ujevne "kaste" av sluttproduktet ditt.
- Hvis du tegner pakningen på en datamaskin, trenger du et program som lar deg enkelt tegne sirkler med en fast radius fra et sentralt punkt. Gfig, en vektortegningsutvidelse for det gratis bilderedigeringsprogrammet GIMP, kan brukes, i likhet med et stort utvalg andre tegningsprogrammer (se materialdelen for relevante lenker). Du vil sannsynligvis også trenge et kalkulatorprogram og enten et tekstbehandlingsdokument eller en fysisk notisblokk for å ta notater om kurver og radier.
- For å tegne pakningen for hånd trenger du en kalkulator (foreslått vitenskapelig eller grafisk), en blyant, kompass, linjal (helst en skala med millimetermerker, grafpapir og en notisblokk for notatopptak.
Trinn 2. Start med en stor sirkel
Din første oppgave er enkel - bare tegn en stor, perfekt rund sirkel. Jo større sirkelen er, jo mer kompleks kan pakningen være, så prøv å lage en sirkel så stor som papiret ditt tillater eller så stort som du enkelt kan se i ett vindu i tegneprogrammet.
Trinn 3. Lag en mindre sirkel inne i originalen, som tangerer til den ene siden
Tegn deretter en ny sirkel inne i den første som er mindre enn originalen, men fortsatt ganske stor. Den eksakte størrelsen på den andre sirkelen er opp til deg - det er ingen riktig størrelse. For vårt formål, la oss imidlertid tegne vår andre sirkel slik at den når nøyaktig halvveis over vår store ytre sirkel. Med andre ord, la oss tegne vår andre sirkel slik at dens sentrale punkt er midtpunktet i den store sirkels radius.
Husk at i Apollonian Gaskets tangerer alle sirkler som berører hverandre. Hvis du bruker et kompass for å tegne sirklene dine for hånd, gjenskaper du denne effekten ved å sette det skarpe punktet på kompasset midt på radius av den store ytre sirkelen, justere blyanten slik at den berører kanten av den store sirkelen, deretter tegne din mindre indre sirkel
Trinn 4. Tegn en identisk sirkel "tvers fra" den mindre innsiden
La oss deretter tegne en annen sirkel tvers fra vår første. Denne sirkelen skal tangerer både den store ytre sirkelen og den mindre indre sirkelen, noe som betyr at de to indre sirklene dine vil berøre det nøyaktige midtpunktet av den store ytre sirkelen.
Trinn 5. Bruk Descartes teorem for å finne størrelsen på de neste sirklene
La oss slutte å tegne et øyeblikk. Nå som vi har tre sirkler i pakningen vår, kan vi bruke Descartes 'teorem til å finne radiusen til den neste sirkelen vi skal tegne. Husk at Descartes teorem er d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), hvor a, b og c er krumningene i de tre tangensirklene dine og d er krumningen til sirkelen som tangerer alle tre. Så, for å finne radiusen til vår neste sirkel, la oss finne krumningen til hver av sirklene vi har så langt, slik at vi kan finne krumningen til den neste sirkelen, og deretter konvertere denne til dens radius.
-
La oss definere radiusen til vår ytre sirkel som
Trinn 1.. Fordi de andre sirklene er inne i denne, har vi å gjøre med dens indre krumning (i stedet for dens ytre krumning), og derfor vet vi at krumningen er negativ. -1/r = -1/1 = -1. Den store sirkelens krumning er - 1.
-
De mindre sirkelenes radier er halvparten så store som den store sirkelens, eller med andre ord 1/2. Siden disse sirklene berører hverandre og den store sirkelen med ytterkanten, har vi å gjøre med deres utvendige krumning, så deres krumninger er positive. 1/(1/2) = 2. De mindre sirkelenes krumninger er begge
Steg 2..
-
Nå vet vi at a = -1, b = 2 og c = 2 for Descartes 'teoremligning. La oss løse for d:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. Krumningen til vår neste sirkel er
Trinn 3.. Siden 3 = 1/r er radiusen til vår neste sirkel 1/3.
Trinn 6. Lag ditt neste sett med sirkler
Bruk radiusverdien du nettopp fant for å tegne de neste to sirklene. Husk at disse vil tangerer sirklene hvis krumninger du brukte for a, b og c i Descartes 'teorem. Med andre ord vil de være tangent for både den opprinnelige og andre sirkel. For at disse sirklene skal tangerer alle tre sirkler, må du tegne dem i de åpne områdene øverst og nederst i området inne i den store originale sirkelen.
Husk at disse sirkelenes radier vil være lik 1/3. Mål 1/3 tilbake fra kanten av den ytre sirkelen, og tegne den nye sirkelen. Det bør være tangent for alle tre av de omkringliggende sirklene
Trinn 7. Fortsett på denne måten for å fortsette å legge til sirkler
Fordi de er fraktaler, er Apollonian Pakninger uendelig komplekse. Dette betyr at du kan legge til mindre og mindre sirkler i hjertet ditt. Du er begrenset bare nøyaktigheten til verktøyene dine (eller, hvis du bruker en datamaskin, evnen til tegneprogrammet ditt til å "zoome inn"). Hver sirkel, uansett hvor liten den er, bør være tangent til tre andre sirkler. For å tegne hver påfølgende sirkel i pakningen din, plugg kurvene til de tre sirklene den vil tangeres inn i Descartes teorem. Bruk deretter svaret ditt (som vil være radius for den nye sirkelen) for å tegne den nye sirkelen nøyaktig.
- Vær oppmerksom på at pakningen vi har valgt å tegne er symmetrisk, så radiusen til en sirkel er den samme som den tilsvarende sirkelen "tvers over den". Vet imidlertid at ikke hver apollonsk pakning er symmetrisk.
-
La oss ta et annet eksempel. La oss si at etter å ha tegnet vårt siste sett med sirkler, ønsker vi nå å tegne sirklene som tangerer vårt tredje sett, vårt andre sett og vår store ytre sirkel. Kurvene i disse sirklene er henholdsvis 3, 2 og -1. La oss koble disse tallene til Descartes 'setning, sette a = -1, b = 2 og c = 3:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. Vi har to svar! Men fordi vi vet at vår nye sirkel vil være mindre enn noen av sirklene den tangerer, bare en krumning av
Trinn 6. (og derfor en radius på 1/6) gir mening.
- Vårt andre svar, 2, refererer faktisk til den hypotetiske sirkelen på den andre siden av tangentpunktet i vår andre og tredje sirkel. Denne sirkelen er tangent til begge disse sirklene og til den store ytre sirkelen, men det ville skjære sirklene vi allerede har tegnet, slik at vi kan se bort fra det.
Trinn 8. For en utfordring, prøv å lage en ikke-symmetrisk Apollonian pakning ved å endre størrelsen på den andre sirkelen
Alle Apollonian pakninger starter det samme - med en stor ytre sirkel som fungerer som kanten av fraktalen. Imidlertid er det ingen grunn til at den andre sirkelen din nødvendigvis må ha 1/2 radius av den første - vi valgte bare å gjøre dette ovenfor fordi det er enkelt og lett å forstå. For moro skyld, prøv å starte en ny pakning med en andre sirkel av en annen størrelse - dette vil føre til spennende nye utforskningsveier.
